Esta entrada está dedicada al teseracto. Hace tiempo me topé sorprendentemente con una escultura que se encontraba (pues ya la han retirado) en una de las rotondas de la ciudad donde resido.
Enseguida se me ocurrió plantear un reto matemático a mis amigos, que te propongo también a ti. La escultura podría representar, entre otras ideas, la proyección en 3D de un teseracto, es decir, de un 4-cubo.
Se llama n-cubo al cubo de dimensión n; así, por ejemplo, el 1-cubo es un segmento, su dimensión es 1, su número de vértices es 2, su número de aristas es 1 y su número de caras es 0. El 2-cubo es un cuadrado, su dimensión es 2, su número de vértices es 4, su número de aristas es 4 y su número de caras es 1. El 3-cubo es un cubo ordinario, su dimensión es 3, su número de vértices es 8, su número de aristas es 12, su número de caras es 6. El 4-cubo es un teseracto, su dimensión es 4, su número de vértices es 16, su número de aristas es 32, su número de caras es 24 y contiene 8 celdas cúbicas. Se puede describir un teseracto como un 3-cubo desplazándose en el tiempo (la cuarta dimensión).
Podemos intentar imaginar cómo sería la proyección de un n-cubo sobre una dimensión inmediatamente inferior. Así, si proyectamos desde un foco situado en la mediatriz de uno de los lados de un cuadrado sobre la recta en que se apoya dicho lado, se observaría un segmento anidado dentro de otro segmento.
Análogamente, si proyectamos desde un foco situado en la perpendicular que pasa por el centro de una de las caras de un cubo sobre el plano en que se apoya dicha cara, se observaría un cuadrado anidado dentro de otro cuadrado. La extrapolación de este proceso al caso del teseracto nos llevaría al cuerpo de la escultura.
Es imposible ver un teseracto en 4D, pues somos seres tridimensionales, pero si se interseca un teseracto con nuestro universo tridimensional por una de sus hipercaras (celdas cúbicas), nosotros veríamos un cubo, al igual que al intersecar con un plano un cubo por una de sus caras, vemos un cuadrado, o al intersecar con una recta un cuadrado por una de sus aristas, vemos un segmento, o incluso al intersecar con un punto un segmento por uno de sus vértices, vemos un punto. Estos resultados sugieren ciertas explicaciones de hechos inverosímiles hoy por hoy, pero que quizás en un futuro podamos entender mejor.
Es como si consideráramos una hormiga como si fuera un ser bidimensional cuyo universo es el plano del suelo; ella no tiene acceso a la tercera dimensión, y por ello, si colocáramos nuestro dedo cerca de ella e inmediatamente lo retiráramos, le parecería haber sido testigo de una espectacular "aparición terrícola". Análogamente, podríamos explicar muchos eventos milagrosos como, por ejemplo, las apariciones de ángeles a muchos de los personajes bíblicos o incluso cuando Yahshúa (Jesús) anduvo sobre la superficie del mar de Galilea en presencia de sus discípulos. Si los ángeles o Yahshúa son capaces de moverse en una cuarta dimensión, una entrada y salida en nuestro universo 3D sería para nosotros como una "aparición angelical" al igual que nuestro dedo para la hormiga.
Tras estas divagaciones, vamos con el reto matemático. Te propongo que analices con cálculos y razonamientos matemáticos hasta llegar a la expresión general del número de vértices, número de aristas y número de caras de un n-cubo.
En el siguiente enlace puedes encontrar la solución al reto y un ejemplo de demostración.
¡Ánimo y a jugar! ¡Las matemáticas son útiles y divertidas!
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